При планировании материально-технического снабжения на промышленных предприятиях возникает задача обеспечения производства исходными сырьем и материалами (необходимой номенклатуры и качества) и более рационального их использования тем, что отдельные детали нужно изготавливать из материалов определенной толщины, а каждая их единица характеризуется неодинаковым размером на разных участках. Кроме того, ресурсы сырья и материалов каждого вида ограничены, что предопределяет использование их для производства одной и той же продукции. Например, в кожевенной промышленности при изготовлении жестких кож одного вида (чепраков подошвенных для обуви винтового метода крепления) используется взаимозаменяемое сырье: яловка средняя, яловка тяжелая, бычина тяжелая, бычина средняя и т.п. Каждый вид исходных сырья и материалов характеризуется определенной ценой, влияющей на величину затрат по статье «Сырье и материалы».

Задача формулируется так: необходимо составить такой план использования исходных сырья и материалов, который, гарантируя высокое качество конечной продукции, обеспечивал бы наибольшую эффективность производства.

Целевая функция этой задачи может быть построена по тому или иному критерию, в том числе и по наиболее общему – максимуму рентабельности производства, максимуму прибыли, минимуму издержек производства (себестоимости), расхода исходных сырья и материалов и т.д. Выбор её критерия зависит от конкретных условий деятельности предприятия.

Целевая функция задачи выбора номенклатуры и определения необходимого количества каждого вида взаимозаменяемого исходного сырья для выполнения плана выпуска продукции в заданном ассортименте (в определенных соотношениях её видов) при минимальных издержках производства (при минимальной себестоимости продукции) имеет такой вид:

где аj – цена единицы сырья вида j;

xji – количество сырья вида j для изготовления планового количества продукции вида i;

bij – стоимость обработки единицы продукции вида i при выработке её из сырья вида j;

 - коэффициент выхода готовой продукции вида i, которое будет выработано из сырья вида j.

Целевая функция рассматриваемой задачи по критерию минимальной стоимости сырья имеет следующий вид:

(при ранее принятых обозначениях).

Целевая функция этой же задачи по критерию минимального расхода исходного сырья имеет вид:

(при ранее принятых обозначениях).

Характер и количество ограничительных уравнений и неравенств зависит, прежде всего, от критерия целевой функции и факторов, определяющих специфику деятельности предприятий разных отраслей легкой промышленности.

При постановке задачи выбора оптимального ассортимента исходных сырья и материалов для производства определенных видов продукции известны (заданы) следующие данные:

1. планируемый выпуск готовой продукции в установленном ассортименте;
2. виды (номенклатуры) и ассортимент исходных сырья и материалов, которые могут быть использованы при выработке определенных видов готовой продукции;
3. условия заменяемости одних видов сырья и материалов другими (соотношения заменяемости);
4. нормы расхода каждого вида исходных сырья и материалов на единицу определенного вида готовой продукции;
5. предельные количества тех или иных видов исходного сырья и материалов, на получение которых может ориентироваться предприятие.

В соответствии с характером целевой функции и заданными (известными) условиями строят систему ограничительных уравнений и неравенств.

При целевой функции, построенной по критерию минимальных издержек производства, ограничительными уравнениями и неравенствами могут быть следующие, которые отражают:

1. прямое (планируемое) ограничение количества некоторых видов исходных сырья и материалов



где Мj – предельное количество определенного вида исходных сырья и материалов, которое может быть выделено предприятию;

2. прямое (планируемое) ограничение количества некоторых всей вырабатываемой продукции



где Pi – количество определенного вида готовой продукции, которое должно быть выработано предприятием в планируемом периоде;

 - коэффициент выхода готовой продукции вида i из сырья вида j;

3. прямое (планируемое) ограничение количества вырабатываемой продукции только определенного вида



(при ранее принятых обозначениях).

4. условия взаимозаменяемости одних видов сырья (материалов) другими при выработке определенных видов готовой продукции:





  и т.д.

(i = 1, 2, 3, …, n),

где - коэффициент заменяемости сырья (материала) второго вида сырьем первого вида и сырья (материалов) третьего вида сырьем второго вида и т.д. при выработке продукции вида i;

5. возможное образование некоторого количества сырья (материалов) определенного вида, которое не может быть использовано в данном производстве (будет передано другим предприятиям или переработано в дополнительный вид готовой продукции)





где Wi – неиспользуемый остаток сырья (материала) вида j;

6. баланс расхода разных видов сырья (материала) на каждый вид вырабатываемой продукции



где k – индекс сырья (материала), заменяющего сырья (материал) вида j;

d – количество видов сырья (материалов), используемого при изготовлении продукции вида i;

 - коэффициент выхода готовой продукции вида i из сырья (материала) вида k;

xki – количество сырья вида k, расходуемого на выпуск готовой продукции вида i.

Используя показатель условий взаимозаменяемости исходного сырья (материала) вида j сырьем (материалом) вида k, т.е. показатель, получим



где - коэффициент заменяемости сырья (материала) вида j сырьем (материалом) вида k при выработке готовой продукции вида i;

7. «неотрицательность» переменных:

 при j = 1, 2, 3, …, r;

 при k = 1, 2, 3, …, d;

Чтоб проследить эти все уравнения на примерах, то можно взять условное предприятие, например швейную фабрику, и произвести все расчёты, основываясь на её данные.

1. Для расчёта целевой функции задачи выбора номенклатуры и определения необходимого количества каждого вида взаимозаменяемого исходного сырья для выполнения плана выпуска продукции в заданном ассортименте (в определенных соотношениях её видов) при минимальных издержках производства (при минимальной себестоимости продукции) нам необходимо аj, xji, bij и

где аj – цена единицы сырья вида j;

xji – количество сырья вида j для изготовления планового количества продукции вида i;

bij – стоимость обработки единицы продукции вида i при выработке её из сырья вида j;

  - коэффициент выхода готовой продукции вида i, которое будет выработано из сырья вида j.

Возьмём три вида товара: спецодежду рубашки и юбки.

Цена единицы сырья для этих видов товаров будет соответственно 12 грн., 10 грн., 10 грн., а значит а1 = 12 грн., а2 = 10 грн., а3 =10 грн.

Соответственно распределим x11 = 100 м., x22 = 70 м., x33 = 50 м., b11 = 7 грн., b22 = 4 грн., b33 = 3 грн.,

 = 0,5; = 1,43; = 2;

Имея все данные подставим их в формулу (1):

 12*100 + 10*70 + 10*50 + 7*0,5*100 + 4*1,43*70 + 3*2*50 = 3450

2. Для определения целевой функции рассматриваемой задачи по критерию минимальной стоимости применим формулу (2):

 12*100 + 10*70 + 10*50 + 7*0,5*100 = 2400.

3. Для определения целевой функции этой же задачи по критерию минимального расхода исходного сырья воспользуемся формулой (3):

 100 + 70 + 50 = 220.

4. Как уже выше говорилось при целевой функции, построенной по критерию минимальных издержек производства, ограничительными уравнениями и неравенствами могут быть следующие, которые отражают:

1. прямое (планируемое) ограничение количества некоторых видов исходных сырья и материалов для которого мы используем уравнение (4):

100+70+50=220 < 245.

где 245 – предельное количество определенного вида исходных сырья и материалов, которое может быть выделено предприятию;

2. прямое (планируемое) ограничение количества вырабатываемой продукции только определенного вида (уравнение 6):

0,5*100+1,43*70+2*50=250 = 250

где 250 – количество определенного вида готовой продукции, которое должно быть выработано предприятием в планируемом периоде;

3. возможное образование некоторого количества сырья (материалов) определенного вида, которое не может быть использовано в данном производстве (будет передано другим предприятиям или переработано в дополнительный вид готовой продукции) (формула 8 и 9):

100 + 70 + 50 = 245 - 25.

100 + 70 + 50 + 25 = 245.

где 25 – неиспользуемый остаток сырья (материала) вида